1 Einführung

17

1.1 Entwicklungsumgebungen

22

1.1.1 IDLE

23

1.1.2 Thonny

24

1.2 Die Installation der Module

25

1.3 Schlüsselwörter von Python

28

1.4 Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung

30

1.4.1 Maschinengenauigkeit

31

1.4.2 Rundungsfehler

32

1.4.3 Stellenauslöschung

34

1.5 Algorithmenbegriffe

34

1.6 Übungen

37

2 Datentypen und Datenstrukturen

41

2.1 Tupel

42

2.1.1 Exkurs: Elementare Datentypen von Python

44

2.1.2 Würfelsimulation

47

2.1.3 Vertauschen von Objekten

48

2.2 Set

49

2.2.1 Mengenlehre

50

2.2.2 Vereinigungsmenge

51

2.2.3 Schnittmenge

51

2.2.4 Differenzmenge

51

2.3 Liste

54

2.4 Dictionary

60

2.5 Zusammenfassung

65

2.6 Aufgaben

66

3 Programmstrukturen

67

3.1 Mathematische Operatoren

68

3.2 Die lineare Programmstruktur

69

3.3 Verzweigungsstrukturen

72

3.3.1 Einfachauswahl

73

3.3.2 Mehrfachauswahl

75

3.4 Wiederholstrukturen

76

3.4.1 Die while-Schleife

77

3.4.2 Die for-Schleife

82

3.5 Operation auf Vektoren und Matrizen

89

3.5.1 Skalarprodukt

89

3.5.2 Addition von Matrizen

90

3.5.3 Multiplikation von Matrizen

92

3.6 Unterprogrammtechnik mit Funktionen

95

3.6.1 Eingebaute Funktionen

96

3.6.2 Selbst erstellte Funktionen

97

3.6.3 Funktionen mit einem Rückgabewert

98

3.6.4 Funktionen mit mehreren Rückgabewerten

100

3.6.5 Namensraum

101

3.6.6 Rekursion: Eine Funktion ruft sich selbst auf

103

3.7 Einen Algorithmus optimieren

107

3.7.1 Binäre Exponentiation

107

3.7.2 Das Horner-Schema

110

3.8 Objektorientierte Programmierung

113

3.8.1 Definition einer Klasse

113

3.8.2 Vererbung

118

3.9 Laufzeitanalyse

120

3.9.1 Messen der Laufzeit

120

3.9.2 Komplexitätsklassen

123

3.10 Aufgaben

127

4 Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy

131

4.1 NumPy

132

4.1.1 Wichtige NumPy-Funktionen

132

4.1.2 Wertetabellen für mathematische Funktionen erstellen

135

4.1.3 Die Datenstruktur von ndarray

136

4.1.4 Rechnen mit Matrizen

136

4.2 Matplotlib

139

4.2.1 Die objektorientierte API

140

4.2.2 Funktionsplot mit Beschriftungen

141

4.2.3 Unterdiagramme

144

4.2.4 Das Slider-Steuerelement

146

4.2.5 Funktionsplotter

148

4.3 SymPy

151

4.3.1 Symbolische Operationen mit Matrizen

152

4.3.2 Symbolisches Differenzieren und Integrieren

154

4.4 SciPy

155

4.5 Aufgaben

158

5 Zahlen

161

5.1 Natürliche und ganze Zahlen

165

5.1.1 Teilbarkeit

165

5.1.2 Division mit Rest

168

5.1.3 Der euklidische Algorithmus

171

5.1.4 Der erweiterte euklidische Algorithmus

176

5.1.5 Primzahlen

178

5.1.6 RSA-Verschlüsselung

190

5.2 Rationale Zahlen

198

5.3 Irrationale Zahlen

202

5.4 Transzendente Zahlen

206

5.4.1 Die Kreiszahl ?

206

5.4.2 Die eulersche Zahl e

216

5.5 Aufgaben

218

6 Gleichungssysteme

219

6.1 Lineare Gleichungssysteme

219

6.1.1 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems

220

6.1.2 Der Gauß-Algorithmus

224

6.1.3 Der Gauß-Jordan-Algorithmus

231

6.1.4 Lösung mit Determinanten: Die cramersche Regel

235

6.1.5 Lösung mit der Inversen einer Matrix

241

6.1.6 Lösung mit der NumPy-Funktion solve()

244

6.1.7 Lösung mit SymPy-Methoden

245

6.2 Iterative Verfahren

250

6.2.1 Das Jacobi-Verfahren

251

6.2.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren

257

6.2.3 Konvergenzverhalten

261

6.3 Nichtlineare Gleichungssysteme

263

6.3.1 Lösung mit SciPy

264

6.3.2 Lösung mit SymPy

265

6.4 Aufgaben

266

7 Folgen

269

7.1 Divergente Folgen

269

7.2 Differenzfolgen

273

7.3 Konvergente Folgen

275

7.4 Rekursive Folgen

278

7.5 Geometrische Folgen

280

7.6 Der Grenzwert von Folgen

284

7.6.1 Grenzwertdarstellung im Koordinatensystem

285

7.6.2 Symbolische Berechnung des Grenzwertes

287

7.7 Aufgaben

288

8 Nullstellen berechnen

289

8.1 Bisektionsverfahren

290

8.2 Fixpunktverfahren

295

8.3 Newton-Verfahren

301

8.4 Vergleich der Verfahren

304

8.5 Numerische Berechnung mehrerer Nullstellen

306

8.6 Aufgaben

308

9 Numerische Differenziation

309

9.1 Simulation des Grenzwertprozesses

310

9.2 Tangentengleichung

313

9.3 Vorwärts-, Rückwärts- und zentraler Differenzenquotient

316

9.3.1 Vorwärtsdifferenzenquotient

317

9.3.2 Rückwärtsdifferenzenquotient

318

9.3.3 Der zentrale Differenzenquotient

318

9.3.4 Differenzenquotienten mit selbst erstellten Funktionen berechnen

320

9.4 Optimale Schrittweite

323

9.5 Höhere Ableitungen

326

9.5.1 Höhere Ableitungen aus vorgegebenen Formeln berechnen

326

9.5.2 Höhere Ableitungen aus der 1. Ableitung berechnen

328

9.5.3 Höhere Ableitungen mit dem erweiterten Horner-Schema berechnen

330

9.5.4 Höhere Ableitungen mit dem Modul Numdifftools berechnen

332

9.6 Kurvendiskussion

333

9.6.1 Statische Darstellung von Extremwerten und Wendepunkt

334

9.6.2 Kriterien für Extremstellen

336

9.6.3 Simulation der Tangentensteigung für ein Polynom 3. Grades

337

9.6.4 Kurvendiskussion mit Numdifftools

339

9.6.5 Kurvendiskussion mit SymPy

343

9.6.6 Umgekehrte Kurvendiskussion

345

9.7 Aufgaben

348

10 Reihen

351

10.1 Divergierende Reihen

352

10.1.1 Die Reihe der Quadratzahlen

352

10.1.2 Harmonische Reihe

355

10.2 Konvergente Reihen

358

10.2.1 Die eulersche Zahl e

358

10.2.2 Vergleich von Konvergenzgeschwindigkeiten

362

10.2.3 Konvergenzkriterien

364

10.3 Geometrische Reihen

366

10.4 Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung

371

10.4.1 Potenzreihen

372

10.4.2 Taylor-Entwicklung

376

10.5 Aufgaben

381

11 Numerische Integration

383

11.1 Das Problem der Flächenberechnung

383

11.1.1 Simulation eines bestimmten Integrals

385

11.1.2 Simulation des Fehlers

388

11.2 Verfahren der Flächenberechnung

391

11.2.1 Die summierte Mittelpunktregel

391

11.2.2 Die summierte Trapezregel

395

11.2.3 Das Simpson-Verfahren

398

11.2.4 Vergleich der Verfahren

401

11.3 Bogenlängen

406

11.4 Rotationskörper

409

11.5 Zweifachintegrale

413

11.5.1 Zweifachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen

413

11.5.2 Zweifachintegrale mit variablen Integrationsgrenzen

418

11.6 Aufgaben

421

12 Differenzialgleichungen

423

12.1 Das eulersche Polygonzugverfahren

424

12.2 Richtungsfelder

429

12.3 Differenzialgleichungen 1. Ordnung

431

12.3.1 Die konstante Wachstumsrate

432

12.3.2 Die konstante Wachstumsrate mit oberer Wachstumsschranke

435

12.3.3 Die logistische Wachstumsrate

437

12.4 Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung

438

12.5 DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel

443

12.6 DGL-System mit zwei Unbekannten

446

12.7 DGL-System mit drei Unbekannten

449

12.8 Optimierungen des Euler-Verfahrens

452

12.8.1 Das Heun-Verfahren

452

12.8.2 Das vierstufige Runge-Kutta-Verfahren

452

12.8.3 Vergleich der Verfahren

453

12.9 Lösung von Differenzialgleichungen mit SciPy

455

12.10 Lösen von Differenzialgleichungen mit Sympy

459

12.11 Aufgaben

462

13 Ausgleichsrechnungen

463

13.1 Lineare Ausgleichsprobleme

464

13.1.1 Lösung mit linearen Gleichungssystemen

464

13.1.2 Lösung mit dem Vektoransatz

470

13.1.3 Lösung mit dem erweiterten Vektoransatz

473

13.1.4 Anwendungsbeispiel: Bremsweg

476

13.1.5 Anwendungsbeispiel: Planetenbahn

479

13.2 Nichtlineare Ausgleichsprobleme

483

13.2.1 Exponentialfunktion

483

13.2.2 Potenzfunktion

485

13.3 Aufgaben

487

14 Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen

489

14.1 Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen

490

14.1.1 Histogramm

492

14.1.2 Normalverteilung

493

14.2 Lageparameter

494

14.2.1 Modus

495

14.2.2 Median

495

14.2.3 Arithmetischer Mittelwert

500

14.2.4 Harmonischer Mittelwert

501

14.2.5 Geometrischer Mittelwert

503

14.3 Streuparameter

504

14.3.1 Spannweite

504

14.3.2 Standardabweichung

507

14.4 Strukturparameter

508

14.4.1 Schiefe

508

14.4.2 Wölbung

511

14.5 Aufgaben

514

15 Fraktale

517

15.1 Turtle-Grafik

518

15.2 Die kochsche Schneeflocke

521

15.3 Das Sierpinski-Dreieck

527

15.4 Der Pythagoras-Baum

531

15.5 Mandelbrot- und Julia-Mengen

534

15.5.1 Mandelbrot-Menge

535

15.5.2 Julia-Menge

540

15.5.3 Farbige Darstellung von Julia-Mengen

543

15.6 Aufgaben

546

Anhang

549

A.1 Wichtige mathematische Begriffe und Sätze

549

A.1.1 Grundlegende Begriffe der Mathematik

549

A.1.2 Wichtige Sätze der Mathematik

550

A.2 Matplotlib-Eigenschaften

552