1 Mengenweise Mengen

24

1.1 Testen Sie sich selbst

25

1.2 Mengen und Elemente

25

Vereinigungs- und Schnittmengen

27

Unter- und Obermengen

27

Vordefinierte Mengen

28

1.3 Entspannungsübungen

30

1.4 Lösungen

30

2 Gesetze der Algebra

32

2.1 Testen Sie sich selbst

33

2.2 Gesetze, die jeder kennt

34

Vertauschen (fast) nach Belieben

34

Das Verteilungsgesetz

36

Zig Prozent auf alles!

37

Zinsen bitte!

38

Die Minusklammer

38

Binomische Formeln

39

2.3 Brüche, gemischt und dezimal

40

Gemeine Brüche

40

Kürzen und erweitern

41

Rechnen mit Brüchen

42

Gemischte Brüche

44

Dezimalkommazahlen

45

2.4 Potenzen und Wurzeln

47

Die Potenzgesetze

47

Umkehren von Potenzen

49

Wurzeln und gebrochene Exponenten

49

2.5 Entspannungsübungen

51

2.6 Lösungen

52

3 (Un-)gleichungen

54

3.1 Testen Sie sich selbst

55

3.2 Einfache Gleichungen und Ungleichungen

56

Gleichungen umformen

56

Ungleichungen lösen

58

3.3 Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen

59

Die Wurzel ziehen

60

Quadratische Ergänzung

60

Bruchgleichungen

62

3.4 Gleichungssysteme

63

Lineare Gleichungssysteme

63

Das Gleichsetzungsverfahren

64

Das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren

65

Das Einsetzungsverfahren

66

3.5 Sachaufgaben

67

Lösung mit System

67

3.6 Gleichungen lösen mit dem PC

69

Bühne frei für Sage

70

Gleichungen lösen mit Sage

70

3.7 Entspannungsübungen

73

3.8 Lösungen

74

4 Funktionen im kartesischen Koordinatensystem

82

4.1 Testen Sie sich selbst

83

4.2 Das Achsenkreuz

83

4.3 Lineare Funktionen

85

Graphen zeichnen

85

Plotten mit Sage

86

4.4 Parabeln

88

Die Normalparabel

88

Noch mehr Parabeln

90

Rechenspiele mit Parabeln

91

4.5 Wurzel- und andere Funktionen

93

Halbe Exponenten

93

Die (Halb-)Kreisfunktion

95

4.6 Entspannungsübungen

97

4.7 Lösungen

98

5 e und log

104

5.1 Testen Sie sich selbst!

105

5.2 Mehr, mehr, mehr!

105

Eulers Zahl

106

Weniger, aber niemals nichts

110

5.3 Logarithmen und ihre Regeln

111

Logarithmen zu verschiedenen Basen

111

5.4 Entspannungsübungen

115

5.5 Lösungen

116

6 Sinus und Cosinus

120

6.1 Testen Sie sich selbst

121

6.2 Rechtwinklige Dreiecke

122

Die drei Seiten

122

Pythagoreische Tripel

124

6.3 Der Einheitskreis

124

Das Eckige muss in das Runde

124

Unterwegs im Einheitskreis

125

Periodizität

129

Der Tangens

130

Formeln mit Sinus und Cosinus

131

6.4 Entspannungsübungen

133

6.5 Lösungen

134

7 Wo ist meine Einheit?

136

7.1 Testen Sie sich selbst

137

7.2 Hoch, weit, schwer

137

Ur-Maße

137

Maße und ihre Einheiten

139

7.3 Von piko bis Tera

141

Das geht doch genauer …

141

Das geht doch genauer … (Version für Computer, Roboter & Co.)

143

7.4 Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen

143

Exponentialdarstellung mit Zehnerpotenzen

143

7.5 Runden, aber sinnvoll

144

Runden oder nicht runden, das ist hier die Frage

145

Symmetrisch runden

145

7.6 Entspannungsübungen

147

7.7 Lösungen

148

8 Flächen und Räume

150

8.1 Testen Sie sich selbst

151

8.2 Flächeninhalt und Umfang

151

Flächeninhalte berechnen

151

Flächenformeln zusammengefasst

152

Umfang berechnen

154

8.3 Volumen und Oberfläche

155

Volumeneinheiten

155

Volumina von Körpern

156

Oberflächen von Körpern

157

8.4 Entspannungsübungen

159

8.5 Lösungen

160

9 Vielleicht sechs Richtige

164

9.1 Testen Sie sich selbst

165

9.2 Statistik

166

Arithmetisches Mittel

166

Geometrisches Mittel

168

Median

169

Standardabweichung und Varianz

170

Normalverteilung

172

9.3 Wahrscheinlichkeit

174

Addition und Produkt

175

Laplace-Experimente

175

Würfel haben keine Erinnerung: Poisson-Verteilungen

176

Permutationen

178

9.4 Entspannungsübungen

181

9.5 Lösungen

181

10 Herrn Booles Algebra

184

10.1 Testen Sie sich selbst

185

10.2 Aussagenlogik

185

Und und oder nicht

185

Exklusives Oder

186

Rechengesetze der booleschen Algebra

187

10.3 Wie Computer rechnen

188

Digitale Zahlensysteme

189

10.4 Entspannungsübungen

192

10.5 Lösungen

192

11 Was zu beweisen ist

194

11.1 Mathematische Beweise

195

11.2 Vollständige Induktion

195

Das Induktionsprinzip

195

11.3 Indirekter Beweis

197

Beweis durch Widerspruch

198

11.4 Entspannungsübung

201

11.5 Lösungen

201

12 Folgen und Grenzwerte

206

12.1 Zahlenfolgen

207

Zahlen, Zahlen und kein Ende

207

Rekursive Folgendefinitionen

208

Geometrische Folgen

209

12.2 Grenzwerte und Konvergenz

210

Wohin laufen sie denn?

210

Das Verhalten von Nullfolgen

211

Konvergenz

212

12.3 Entspannungsübungen

213

12.4 Lösungen

213

13 Reihen

216

13.1 Unendliche Summen

217

Partialsummen und Summenfolgen

217

Konvergente Reihen

218

13.2 Besondere Reihen

219

Die geometrische Reihe

219

Die harmonische Reihe

221

Noch mehr konvergente Reihen

222

13.3 Entspannungsübungen

223

13.4 Lösungen

223

14 Stetigkeit und Monotonie

224

14.1 Grenzwerte von Funktionen

225

Lückenfüller

226

Dreifolgensatz

228

Von Epsilon und Delta

229

Grenzwerte im Unendlichen

229

Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen

231

14.2 Stetige Funktionen

232

Definition der Stetigkeit

232

Sätze über stetige Funktionen

233

Monotonie

234

14.3 Entspannungsübungen

236

14.4 Lösungen

236

15 Funktionen ableiten

240

15.1 Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit!

241

Ort, Zeit, Tempo

241

Momentane Geschwindigkeit

244

15.2 Die Steigung der Tangenten

244

Klitzekleine Steigungsdreiecke

244

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

246

Die erste Ableitung

246

15.3 Ableitungsregeln

248

Summenregel

249

Produktregel

249

Ableitung der Hyperbelfunktion

250

Kettenregel

251

Quotientenregel

252

Potenzregel und Polynome ableiten

253

15.4 Entspannungsübungen

255

15.5 Lösungen

255

16 Noch mehr Funktionen ableiten

256

16.1 Exponentialfunktion ableiten

257

Erste Ableitung von ex

257

Ableitung der Umkehrfunktion

258

Ableiten des Logarithmus

259

Ableiten von Potenzen mit reellem Exponenten

260

16.2 Trigonometrische Funktionen

261

Sinus und Cosinus

261

Ableitung des Tangens

262

16.3 Entspannungsübungen

265

16.4 Lösungen

265

17 Eigenschaften von Funktionen

268

17.1 Funktionengeometrie

269

Spiegelsymmetrie

269

Punktsymmetrie

270

Asymptotisches Verhalten

271

Extremstellen

274

Extremwertaufgaben

276

Sattel- und Wendepunkte

278

17.2 Königsdisziplin Kurvendiskussion

279

17.3 Funktionen à la carte

283

Selbstgestrickt

283

Zufall, selfmade

287

17.4 Entspannungsübungen

290

17.5 Lösungen

290

18 Integralrechnung

296

18.1 Das riemannsche Integral

297

Eine Frage der Fläche

297

Ober- und Untersummen

299

18.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

300

Das unbestimmte Integral

301

Stammfunktionen

302

Der Fundamentalsatz der Analysis

302

Potenzen und Polynome integrieren

304

Partielle Integration

305

Substitutionsregel

307

Uneigentliche Integrale

310

Integralkriterium

312

18.3 Anwendungen der Integration

313

Integrale in der Physik

313

Extremwertaufgaben mit Flächen

314

Integrieren mit Sage

317

18.4 Entspannungsübungen

318

18.5 Lösungen

319

19 Die Bewegungsgleichung

322

19.1 Kraft und Beschleunigung

323

Kraftlos

323

Konstante Kraft

324

Der Fall des Apfels

326

19.2 Die zweite Dimension

327

Nur einen Steinwurf entfernt

327

Die Wurfparabel

328

Der optimale Wurfwinkel

329

19.3 Entspannungsübungen

332

19.4 Lösungen

332

20 Die Differentialgleichung erster Ordnung

334

20.1 Wo Differentialgleichungen vorkommen

335

Strom, Spannung und Co.

335

Auf die Bremse treten

337

Tierpopulationen

338

20.2 Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen

338

Allgemeine Lösung

338

Anfangsbedingungen und Randwerte

340

Inhomogene Differentialgleichung lösen

341

20.3 Entspannungsübungen

346

20.4 Lösungen

346

21 Das Pünktchen auf dem i

348

21.1 Die komplexen Zahlen

349

Schreibweisen

349

Rechenregeln

350

Der Fundamentalsatz der Algebra

351

Multiplikation komplexer Zahlen

351

Division komplexer Zahlen

352

21.2 Die komplexe Zahlenebene

353

Komplexe Zahlen in der gaußschen Ebene

353

Polarform

354

Multiplikation in Polarform

356

21.3 Die eulersche Formel

358

Immer im Kreis herum

358

Die eulersche Identität

359

21.4 Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen

360

Komplexe Funktionen ableiten

360

Die Mandelbrotmenge

360

21.5 Entspannungsübungen

362

21.6 Lösungen

363

22 Hin und wieder zurück

364

22.1 Der harmonische Oszillator

365

Nicht nur für Pendler

365

Der Schwingkreis

367

22.2 Differentialgleichung zweiter Ordnung

368

Lösung mit Eulers Formel

369

Lösung mit Sinus-Cosinus-Ansatz

371

Anfangs- und Randbedingungen

371

Differentialgleichung mit Dämpfung

372

22.3 Entspannungsübungen

376

22.4 Lösungen

376

23 Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren

380

23.1 Kurvenlängen integrieren

381

Sehr kleine Hypotenusen

381

23.2 Mantelflächenintegrale

384

Rotationskörper

384

23.3 Entspannungsübungen

387

23.4 Lösungen

387

24 Nicht-kartesische Koordinatensysteme

390

24.1 Polarkoordinaten

391

Zweidimensionale Kreiskoordinaten

391

Umrechnung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

392

Infinitesimalrechnung in Polarkoordinaten

393

24.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme

395

Zylinderkoordinaten

395

Kugelkoordinaten

396

24.3 Entspannungsübungen

399

24.4 Lösungen

399

25 Vektorrechnung

404

25.1 Vektoren in der euklidischen Ebene

405

Schreibweisen

405

Eigenschaften von Vektoren

406

Vektoren addieren

407

Skalarmultiplikation

408

25.2 Die Basis

410

Lineare Unabhängigkeit

410

Einheitsvektoren und Basis

412

Vektorrechnung mit Sage

412

25.3 Entspannungsübungen

414

25.4 Lösungen

414

26 Lineare Gleichungssysteme

418

26.1 Das Gauß-Verfahren

419

Umformen gen Dreiecksform

419

Matrix-Schreibweise

421

Gleichungssysteme lösen mit Sage

422

26.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

422

Bedingungen für Lösbarkeit

422

Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme

423

Die Determinante

424

Die Regel von Sarrus

426

Cramersche Regel

426

26.3 Entspannungsübungen

428

26.4 Lösungen

428

27 Willkommen in der Matrix

430

27.1 Lineare Abbildungen

431

Definition linearer Abbildungen

431

Eigenschaften linearer Abbildungen

432

Kern, Bild und Dimensionsformel

433

Praktische Anwendungen

434

27.2 Verknüpfung linearer Abbildungen

434

Summen von Matrizen

435

Vielfache von Matrizen

435

Matrizenmultiplikation

435

Die inverse Abbildung

437

Matrizenrechnung mit Sage

439

27.3 Entspannungsübungen

441

27.4 Lösungen

441

28 Eigenwerte, Determinanten und Co.

444

28.1 Matrizen unter der Lupe

445

Determinante und Invertierbarkeit

445

Basiswechselmatrix

446

28.2 Eigenwerte

448

Das Eigenwertproblem

448

Berechnung von Eigenwerten

449

Eigenräume

451

Diagonalisieren

451

28.3 Produkte

454

Skalarprodukt

454

Kreuzprodukt

456

28.4 Entspannungsübungen

459

28.5 Lösungen

460

29 Besondere Matrizen anwenden

464

29.1 Geometrische Transformationen

465

Orthonormalsysteme

465

Isometrien

465

Spiegelmatrizen

467

Drehmatrizen

467

Koordinatentransformation

468

29.2 Bildbearbeitung

470

Faltungsmatrizen

470

29.3 Entspannungsübungen

473

29.4 Lösungen

473

30 Mehrdimensionale Analysis

476

30.1 Abbildungen in mehr als einer Dimension

477

Vektoren und ihre Schreibweisen

477

Mehrdimensionale Funktionen

478

30.2 Differentialrechnung in ?n

480

Partielle Ableitungen

480

Der Gradient

481

Die Jacobimatrix

483

Jacobimatrix und Koordinatentransformation

484

30.3 Entspannungsübungen

486

30.4 Lösungen

486

31 Numerische Verfahren

488

31.1 Intervallschachtelung

489

Fortgesetzte Bisektion

489

Kontinuierlicher Fall

490

31.2 Interpolation

492

Polynominterpolation

493

Lagrangesche Interpolationsformel

494

31.3 Ausgleichsrechnung

496

Methode der kleinsten Quadrate

496

Beispiel: Erdbeschleunigung mit dem Handy messen

496

31.4 Numerische Integration

498

Trapezregel

499

Adaptive Integration mit Sage

500

31.5 Entspannungsübungen

502

31.6 Lösungen

503

32 Analytische Geometrie

506

32.1 Ein Universum voller Vektoren

507

Eine Gerade

507

Zwei Geraden

509

Ebenen

511

Normale

513

Hessesche Normalenform

515

Kugeln

517

32.2 Begegnungen im Nichts

519

Gerade trifft Ebene

519

Ebene trifft Ebene

521

Projektion und Spiegel

522

Der Kreis schließt sich

524

32.3 Entspannungsübungen

529

32.4 Lösungen

530